Notes on Multiplicative Inverse

扩展欧几里得算法求$a$对模$b$的逆

当$(a, b)=1$时，有

$$
\exists x, y \in Z, \ ax+by=1
$$

扩展欧几里得算法证明如下：

设$a \gt b$。

当$b=0$时，有

$$
a \times 1+b \times 0=a=(a, b)=1
$$

此时$x=1, \ y=0$。

当$b \neq 0$时，有

$$
\left\{
\begin{align}
a \times x_1+b \times y_1&=1 \\
b \times x_2+a \bmod b \times y_2&=1
\end{align}
\right.
$$

所以

$$
a \times x_1+b \times y_1=b \times x_2+a \bmod b \times y_2
$$

将$a \bmod b=a-a/b \times b$代入，得

$$
a \times x_1+b \times y_1=b \times x_2+a \times y_2-a/b \times b \times y_2
$$

那么$x_1=y_2, \ y_1=x_2-a/b \times y_2$。

由此得证。

void extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    int ret = extend_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}

---

费马小定理求$a$对模$p$的逆

当$p$是质数且$p \nmid x$时，有

$$
x^{-1} \equiv x^{p-2} \pmod p
$$

证明如下：

根据费马小定理，当$p$是质数时，有

$$
\forall x \in Z, \ x^p \equiv x \pmod p
$$

当$p \nmid x$时，有

$$
\begin{align}
x^{p-1} &\equiv 1 \pmod p \\
x^{-1} &\equiv x^{p-2} \pmod p
\end{align}
$$

由此得证。

---

$O(n)$时间求出$1..n$对模$p$的逆

当$p$是质数且$1 \lt i \lt p$时，有

$$
i^{-1} \equiv (p-p/i) \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p
$$

证明如下：

令$t=p/i, \ k=p \bmod i$。易知

$$
\begin{align}
t \times i+k &\equiv 0 \pmod p \\
k &\equiv -t \times i \pmod p
\end{align}
$$

等式两边同时除以$ik$，得

$$
\begin{align}
i^{-1} &\equiv -t \times k^{-1} \pmod p \\
i^{-1} &\equiv -p/i \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p
\end{align}
$$

即

$$
i^{-1} \equiv (p-p/i) \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p
$$

由此得证。

void get_inv() {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MOD; ++i) {
        inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
    }
}

---

求$b \mid a$时${a \over b}$在模$n$意义下的值

当$b \mid a$时，有

$$
{a \over b} \bmod n=a \bmod (bn) / b
$$

证明如下：

设

$$
{a \over b} \bmod n = x
$$

则有

$$
\begin{align}
{a \over b}&=kn+x \\
a&=kbn+bx
\end{align}
$$

因为$0 \le x \lt n$，所以

$$
\begin{align}
a \bmod (bn)&=bx \\
x&=a \bmod (bn) / b
\end{align}
$$

由此得证。